ردپای «هیلبرت»: از آنالیز تابعی تا مکانیک کوانتومی
حسن فتاحی . سمیه برجیان
ریاضیات هیچ نژاد و مرز جغرافیایی‌ای نمی‌شناسد. برای ریاضیات، جهان فرهنگی خود به تنهایی یک کشور است.
«دیوید هیلبرت»
ریاضیات یا مزداهیک در زبان پارسی سره، زبان زاستار یا طبیعت است. ریاضیات پادشاه دانش‌هاست. ریاضیات ملکه دانش است. در آغاز نوشتن درباره کتابی در زمینه ریاضیات هیچ چیز به اندازه جمله‌های بالا رسا و زیبا نیست. در این مقاله می‌خواهیم سفری به یکی از هزاران شهر سرزمین پهناور ریاضیات داشته باشیم. سفری به دل یکی از کتاب‌های ریاضی که به‌تازگی توسط انتشارات دانشگاه لرستان به فارسی برگردانده شده است. کتابی با نام «مقدمه‌ای بر عملگرهای فضای هیلبرت». هدف اصلی ما معرفی این کتاب به جامعه ریاضی ایران است. دانشگاه‌ها، کتابخانه‌ها و ریاضی‌خوانان و ریاضی‌دانان این کتاب را برگزینند و بخوانند، اما قصد آن داریم مقاله معرفی را به‌گونه‌ای بنویسیم که خوانندگان ناآشنا با جهان ریاضی هم بر دانسته‌های خود بیفزایند. پس اجازه دهید از ستودن دانش ریاضی بگذریم و از همین ابتدا کتاب را معرفی کنیم. روی جلد این کتاب واژه «عملگر» خودنمایی می‌کند. پس لازم است به زبان ساده بدانیم «عملگر» یا با نام دیگرش «آپارگر» چیست. واژه «آپارگر» اگرچه نو‌واژه‌ای ناآشناست، ولی برگردانی پرسون‌تر برای واژه «operator» است. اما ما کماکان همان واژه «عملگر» را به کار
خواهیم برد. عملگر، یک نگاشت یا یک تابع است که می‌تواند روی عناصر یک فضا عملی را انجام دهد تا عناصر را در فضای دیگری تولید کند. در فیزیک هم چنین است؛ عملگر فیزیکی، نگاشت یا تابعی است که می‌تواند در فضای حالت‌های فیزیکی عمل کند و حالت فیزیکی دیگری را که حاوی اطلاعات است، تولید کند. این کتاب درباره عملگرهای فضای هیلبرت است.
«هیلبرت» و فضایش
برای اینکه بدانید این کتاب درباره چیست، لازم است بدانید «فضای هیلبرت» چیست. اما پیش از آنکه بگوییم «فضای هیلبرت» چیست، شایسته است کمی درباره «هیلبرت» بگوییم. «دیوید (یا داوید) هیلبرت» از برجسته‌ترین ریاضی‌دانان تمام دوران به شمار می‌رود که مرزهای ریاضی را جابه‌جا کرده است. او آلمانی بود و به سال 1862 م. در پادشاهی پروس به دنیا آمد. به سال 1943 م. هم در داغ‌ترین روزهای جنگ جهانی دوم پس از سپری‌کردن روزهای دشوار در حکومت نازی‌ها در گوتینگن آلمان چشم از جهان فروبست. نام «هیلبرت» با شاخه‌های پُرگونی از ریاضی گره خورده است؛ از آنالیز تابعی و نظریه اعداد تا هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی. «هیلبرت» از دوستان خوب «آلبرت اینشتین» بود و تا زمانی که «اینشتین» در آلمان بود، از حمایت او برخوردار بود. او همچنین در دوره‌ای که زنان را در جهان ریاضی به دشواری می‌پذیرفتند، از دیگر ریاضی‌دان نامور آلمانی، «امی نوتر»، حمایت چشمگیری کرد. درباره «هیلبرت» و نقش پررنگ او در ریاضیات قرن بیستم و نیز نقش پررنگ او در جهت‌بخشی به نقش اجتماعی دانشمندان در عرصه‌های اجتماعی باید کتابی پروپیمان نوشت، اما افسوس‌مندانه از این مرد بزرگ حتی یک
کتاب هم به فارسی نوشته یا ترجمه نشده است. به فضای «هیلبرت» بپردازیم. همه ما سه بُعد مکانی فضا را می‌شنایم: ژرفا، پهنا و درازا. حال اگر بُعد زمان را هم به آن بیفزاییم، با ساختار «فضا-زمان» سروکار خواهیم داشت. در این فضای سه‌بعدی، پرسونانه‌تر بگوییم در این ساختار فضا-زمان هندسه‌ای حاکم است که برای راحتی کار هندسه اقلیدسی را فرض می‌کنیم. هندسه اقلیدسی همان هندسه‌ای است که در آن دو خط موازی یکدیگر را در یک نقطه مشترک قطع نمی‌کنند و جمع کل زاویه‌های مثلث 180 درجه است. حال فرض کنید فضایی داشتیه باشیم که بُعدهای مکانی آن بیش از سه باشد و حتی بی‌نهایت باشد. در این فضا به ابزارهایی نظیر جبر برداری و حسابگان نیاز داریم که بتواند در هندسه مورد نظر ما کار کند. کاربردهای «فضای هیلبرت» فزاینده است؛ از مکانیک کوانتومی گرفته تا تحلیل فوریه، مشتقات پاره‌ای، ترمودینامیک، انتقال حرارت و فیزیک نظری را شامل می‌شود. «فضای هیلبرت» «خوش-تعریف» است و شامل ضرب داخلی عنصرها (یا بُن‌پارها) است. این کتاب درباره عملگرهای کراندار و بی‌کران در «فضای هیلبرت» است. فضایی که نام درخور و برازنده ریاضی‌دانی را دارد که ریاضی قرن بیستم را زیباتر
از گذشته کرد. مردی که پا جای پای کسانی همچون «اقلیدس»، «گاوس»، «ریمان» و دیگر ستون‌های ریاضی گذاشته بود.
پرواز بر فراز کتاب
اگر در همان نگاه نخست کتاب را در دست گرفته و ورقی بزنید، چاپ تمیز و تایپ (حروفچینی) زیبای آن به چشم می‌آید. مترجمان کتاب با استفاده از نرم‌افزار لاتک کتاب را حروفچینی کرده‌اند که برای متن‌های دانش‌های زاستاری همچون ریاضی و فیزیک که پر از دیسول (فرمول) و شکل و نمودار است، منحصر‌به‌فرد است. دیسول‌ها بسیار چشم‌نواز و زیبا تایپ شده‌اند که بر خوش‌خوانی کتاب افزوده است. همچنین با نگاهی تند می‌توان دریافت ترجمه کتاب هم خیلی خوب است. جملات پرسون و خوش‌‌خوانش هستند. از همه مهم‌تر مترجمان از واژگان درست فارسی برای ریاضیات استفاده کرده‌اند که این کار شایسته قدردانی است. کم نیستند کتاب‌هایی که هم زشت و بدسلیقه حروفچینی شده‌اند و هم ترجمه پر از واژگان بیگانه دارند که به شکل «پینگیلیش» نوشته شده است. مترجمان در پیشگفتاری که برای کتاب‌شان نوشته‌اند، مختصر و مفید چنین گفته‌اند: کتاب‌های بسیاری [منظور کتاب به زبان فارسی نیست] در زمینه نظریه عملگرها روی «فضای هیلبرت» نوشته شده‌اند که دیدگاه‌های نویسندگان آنها و نحوه پرداختن به موضوع در این کتب کمابیش متفاوت است. در بین این کتاب‌ها، کتاب «مقدمه‌ای بر نظریه عملگرها در فضای
هیلبرت» اثر «پیوتر سلطان» به سبک خاصی نوشته شده است. این کتاب به‌طور خلاصه جنبه‌های اساسی نظریه عملگرها روی فضای هیلبرت را ارائه می‌دهد. جامع‌بودن کتاب، صلابت بیان و ترتیب بسیار زیبای مباحث، دست به دست هم داده و خواننده را با همه زوایای نظریه عملگر به بهترین وجه آشنا می‌کند. این کتاب را می‌توان به‌عنوان یک کتاب درسی جامع و مختصر برای تدریس درس نظریه عملگرها، برای دوره‌های کارشناسی‌ارشد و دکترای رشته‌های ریاضی محض و کاربردی مورد استفاده قرار داد؛ همچنین مطالعه این کتاب را به دانشجویان و استادان علاقه‌مند به تحقیق و مطالعه در زمینه نظریه عملگرهای خطی کرادار و بی‌کران روی «فضای هیلبرت» توصیه می‌کنیم.
شیرجه درون کتاب
نسخه اصلی این کتاب به زبان انگلیسی به سال 2018 م چاپ شده است و در دنیای ریاضی بسیار جدید به شمار می‌آید. بنابراین مترجمان انتخاب بسیار درستی داشته‌اند. نسخه فارسی کتاب در انتشارات دانشگاه لرستان، با شمارگان 500 نسخه و قیمت 55 هزار تومان در 250 صفحه چاپ شده است. حدیث مکرر است، اما بازهم گفتنش ضروری است که شمارگان کتاب‌های دانشگاهی بسیار کم است. در این کشور بی‌شک خیلی بیشتر از 500 ریاضی‌دان و گروه ریاضی و دانشجویان ریاضی که ممکن است به چنین کتابی نیازمند باشند، وجود دارد. کتاب‌های دانشگاهی به زبان فارسی، به‌ویژه کتاب‌های تخصصی نیازمند حمایت است تا ریشه‌اش خشک نشود. به ادامه غواصی در دریای بی‌کرانه عملگرها روی فضای هیلبرت بپردازیم. نظریه عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» یکی از دستاوردهای مهم آنالیز تابعی است که کاربردهای فراوانی در شاخه‌های گوناگون ریاضیات و فیزیک دارد. همچنین پایه تعمیم‌های جالبی شامل جبرهای فون-نویمان و هندسه ناجابه‌جایی و بسیاری از زمینه‌های پژوهشی نوین است. این کتاب بر اساس سخنرانی‌های نویسنده در دانشکده فیزیک دانشگاه ورشو فراهم شده که همین موضوع نقطه قوت است؛ زیرا نویسنده پیش از نوشتن کتاب
زیروبم مشکلات، بدفهمی‌ها و کج‌فهمی‌های دانشجویان را فهمیده و در کتاب گنجانده است. «پیوتر سلطان» دو هدف کلی را برای کتابش برمی‌شمرد؛ نخست فراهم‌کردن ارائه‌ای مختصر از اصول اولیه نظریه عملگرها روی فضاهای هیلبرت با اثبات‌های کامل و مستقیم و دیگری آماده‌سازی خواننده برای مطالعه بیشتر درباره نظریه عملگرها و نیز نظریه جبرهای عملگر. نویسنده برای دستیابی به هدف نخست، اصول و نکات مهم نظریه عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» را که برای موضوعی بسیار انتزاعی است، ارائه می‌دهد. مهم‌تر از همه دلیل محدودکردن کتاب به برخی حداقل‌ها، وجود تعداد زیادی کتاب و پژوهش دراین‌باره است که طیف وسیعی را پوشش می‌دهد. بنابراین بر اساس آنچه هدف اصلی «سلطان» به شمار می‌رود، کتابی با میزان متوسطی از مطالب است که نقطه آغاز ارزشمندی باشد برای پژوهش‌های پیشرفته. موضوع کتاب در 12 فصل به دو بخش کلی بخش می‌شود. بخش نخست شامل هفت فصل اول به مطالعه عملگرهای کراندار اختصاص دارد و بخش دوم درباره عملگرهای بی‌کران است. در بخش دوم کتاب از یک ابزار بسیار مفید و جدید با نام «z-تبدیل» استفاده شده است. با مطالعه جزئیات بیشتر درباره این تبدیل می‌توان آن را به
عنوان روشی برای رمزگذاری اطلاعات کامل یک عملگر چگال معین بسته روی یک «فضای هیلبرت» بر حسب یک عملگر کراندار روی این فضا در نظر گرفت؛ همچنین می‌توان اثبات‌های بسیار ساده و ظریفی را برای بسیاری از نتایج این نظریه ارائه داد. بیشتر کتاب‌ها و مرجع‌های ذکرشده در پایان کتاب، نظریه طیفی عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» را بر اساس چندین دیدگاه از نظریه «جبرهای باناخ» و «سی-استار جبر» تعمیم می‌دهند. در این رویکرد خواننده باید ابتدا با ساختارهای تا حدی پیشرفته کار کند و سپس آنها را برای حل مسائل مقدماتی نظریه عملگر به کار گیرد. اما روش «سلطان» به گونه‌ای دیگر است. نظریه طیفی عملگرها روی «فضاهای باناخ» با حداقل استفاده از نتایج ژرف‌تر «جبرهای باناخ» ارائه شده است. برای خوانندگان تازه‌وارد در ریاضیات خوب است توضیح دهیم که «جبر باناخ» از نام ریاضی‌دان شهیر لهستانی، «استفان باناخ»، گرفته شده است. «باناخ» ریاضی‌دانی باهوش بود که افسوس‌مندانه خیلی زود و در 54سالگی چشم از جهان فروبست. از آنجایی که هدف کتاب «پیوتر سلطان» ارائه نظریه عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» است، بنابراین دربردارنده تعداد زیادی مثال و تمرین نیست، اما در عوض
مطالب را بسیار موشکافانه بررسی کرده است؛ همچنین در پایان هر فصل منابعی را برای مطالعه بیشتر و کتاب‌های تمرین‌پایه معرفی کرده است. در بسیاری از موارد اطلاعات مربوط به پیشرفت‌ها و تعمیم‌های گسترده‌تر درباره موضوع هر فصل هم بیان شده است. دوره سخنرانی که این کتاب براساس آن نوشته شده برای دانشجویانی در نظر گرفته شده که با مبانی آنالیز تابعی، شامل اطلاعات پایه و اولیه «فضاهای هیلبرت» و «باناخ» آشنا باشند. درواقع دانستن موضوع‌های زیر در ریاضی برای هرچه بهتر دریافتن بِگِرت‌های (مفهوم‌ها) گنجانده‌شده در این کتاب ضروری است.
1- مبانی جبر خطی و حسابگان (حساب دیفرانسیل و انتگرال)
2- مقدمات توپولوژی عمومی شامل مفهوم فضای توپولوژیک موضعی فشرده، تور و هم‌گرایی آن و نیز قضیه استون-وایرشتراس
3- آنالیز مختلط مقدماتی شامل بگرت یا مفهوم تابع تحلیلی، دیسول یا فرموا کوشی و قضیه لیوویل
4- نظریه اندازه و انتگرال شامل قضیه هم‌گرایی تسلطی، اندازه‌های ضربی و قضیه فوبینی، اندازه‌های مختلط، قضیه رادون-نیکودیم و نیز قضیه نمایش ریس-مارکوف-کاکوتانی
5- قضیه نمایش ریس برای تابعک‌های روی «فضاهای هیلبرت»، فرم‌های یک‌ونیم خطی کراندار و ارتباط آنها با عملگرهای کراندار روی «فضاهای هیلبرت» و نیز بگرت یا مفهوم عملگر الحاقی یک عملگر کراندار روی «فضای هیلبرت»
6- بگرت «فضای باناخ» و «فضای هیلبرت»، «فضای لِبِگ» (برگرفته از نام «هنری لبگ»-ریاضی‌دان قرن بیستمی فرانسوی)، عملگرهای کراندار روی «فضاهای باناخ» و نرم عملگر.
در این کتاب از انتگرال‌های توابع پیوسته «فضای باناخ-مقدار»، که اغلب در دوره‌های معادلات دیفرانسیل معمولی مورد بحث قرار می‌گیرند، استفاده شده است. تمام فضاهای برداری بررسی‌شده در این کتاب روی میدان اعداد مختلط است. «سلطان» در این کتاب از نمادها و قراردادهای استاندارد فیزیک را به کار بسته است که بر اساس آن ضرب‌های اسکالر نسبت به متغیر دوم خطی و نسبت به متغیر اول پادخطی خواهند بود. همچنین از دو نماد بسیار شناخته‌شده در مکانیک کوانتومی با نام‌های «بِرا» و «کِت» استفاده کرده است. بر اساس آنچه «سلطان» در ابتدای کتابش گفته، ترتیب مطالب کتاب یا به عبارت بهتر فصل‌های کتاب خطی است؛ یعنی باید کتاب را به ترتیبی که نوشته شده خواند. بنابراین انتظار می‌رود هم دانشجویان این توصیه نویسنده را به کار گیرند و با حوصله، با رویکردی پرسونانه و صرف وقت کافی کتاب را بخوانند و هم استادانی که قصد دارند از روی این اثر درس بدهند، از ابتدا شروع کنند و نه از وسط کتاب! «پیوتر سلطان» درحالی‌که خود استاد‌تمام است، در کتابش از استاد راهنمایش، پروفسور «اشتانسلاو وورونوویچ» بسیار قدردانی کرده که او را با «فضای هیلبرت» آشنا کرده است. اجازه
دهید پایان‌بخش این قسمت از مقاله عنوان فصل‌های کتاب باشد: بخش اول-عملگرهای کراندار: فصل یک: طیف عملگر، فصل دو: حساب تابعی پیوسته، فصل سه: عملگرهای مثبت، فصل چهار: قضایای طیفی و حساب تابعی، فصل پنج: عملگرهای فشرده، فصل شش: اثر، فصل هفت: حساب تابعی برای گردایه‌ای از عملگرها. بخش دوم- عملگرهای بی‌کران: فصل هشت: عملگرها و گراف‌های آنها، فصل نهم: «z-تبدیل»، فصل ده: قضایای طیفی، فصل یازده: توسیع‌های خود-الحاق عملگرهای متقارن، فصل دوازده: گروه‌های یک‌پارامتری عملگرهای یکانی. همچنین کتاب شامل پنج پیوست نیز هست که عبارت‌اند از: قضیه باناخ- اشتاین‌هاوس، قضیه دنکین، ضرب تانسوری فضاهای هیلبرت، قضیه نگاشت باز، جبرها و فضاهای خارج‌قسمتی. مترجمان یک واژه‌نامه خوب فارسی-انگلیسی هم به کتاب افزوده‌اند تا دانشجویان ایرانی با برابرنهادهای انگلیسی واژگان آشنا شوند. هرچه باشد انگلیسی زبان دانشی نخست جهان بوده و دانستن آن ضروری است.
درباره نویسنده
«پیوتر سلطان» یا با نام کامل «پیوتر میلکلاژ سلطان» از آن دسته دانشمندانی در اروپای پرقی است که به‌شدت پرکار است و در فضای اجتماعی کم دیده شده. در اروپای شرقی دانشمندان درجه یکی می‌توان یافت که از همتایان اروپای غربی و آمریکای شمالی بسیار درخشان‌تر هستند، اما برای جامعه دانشی خارج از شاخه پژوهشی خود ناشناخته مانده‌اند. باز خوب است به این موضوع اشاره کنیم که اروپای شرقی ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان نظری تراز اولی دارد و حتی می‌توان در آنها مکتب‌های ریاضی دید. «پیوتر سلطان» هم از این دست است. او در شاخه‌های پژوهشی همچون نظریه عملگرها، گروه‌ها در نظریه کوانتومی و جبر ناجابه‌جایی کارهای ارزنده‌ای کرده است. «سلطان» در حال حاضر استاد تمام دپارتمان فیزیک در گروه مدل‌های ریاضی در فیزیک، در دانشگاه وارساو یا با گویش فارسی رایج ورشو است. او
43 مقاله پژوهشی با شاخص بالا دارد که برای یک ریاضی‌دان یا بهتر بگوییم
ریاضی-فیزیک‌دان بسیار خوب است؛ همچنین چندین درسنامه به زبان انگلیسی و چندین درسنامه به زبان لهستانی دارد. خوب است پژوهشگران ایرانی هم آستین همت و مسئولیت را بالا بزنند و درسنامه‌های خوبی را به فارسی بیش از پیش نگارش کنند؛ کاری که مترجمان کتاب حاضر هم انجام داده‌اند.
درباره مترجمان
مترجمان این کتاب خوب هر دو دانش‌آموخته ریاضیات هستند. «زهرا معیری‌زاده» دکترای ریاضیات محض از دانشگاه تبریز بوده و عضو هيئت‌علمي دانشكده رياضي دانشگاه لرستان است. گرایش او آنالیز است و سابقه تدریس پروپیمانی در دانشگاه دارد. دوره‌های تحصیلی را هم با رتبه‌های ممتاز سپری کرده است. «حامد بازگیر» هم دانش‌آموخته دوره دکترای ریاضیات از دانشگاه لرستان است و در حال حاضر علاوه بر تدريس در دانشگاه، پژوهشگر رياضيات كاربردي نيز هست. شاید بهترین پایان برای این مقاله و معرفی این کتاب به جامعه ریاضی‌دانان و ریاضی‌خوانان کشور این باشد که مترجمان این کتاب زوج پژوهشگر ریاضی‌خوانده‌ای هستند که در کنار زندگی مشترک با فرزند خردسال‌شان، کار پژوهشی و دانشی مشترک هم انجام می‌دهند. این نوع از زندگی‌های موفق برای نسل جوان ایران چراغ راه است.
ریاضیات هیچ نژاد و مرز جغرافیایی‌ای نمی‌شناسد. برای ریاضیات، جهان فرهنگی خود به تنهایی یک کشور است.
«دیوید هیلبرت»
ریاضیات یا مزداهیک در زبان پارسی سره، زبان زاستار یا طبیعت است. ریاضیات پادشاه دانش‌هاست. ریاضیات ملکه دانش است. در آغاز نوشتن درباره کتابی در زمینه ریاضیات هیچ چیز به اندازه جمله‌های بالا رسا و زیبا نیست. در این مقاله می‌خواهیم سفری به یکی از هزاران شهر سرزمین پهناور ریاضیات داشته باشیم. سفری به دل یکی از کتاب‌های ریاضی که به‌تازگی توسط انتشارات دانشگاه لرستان به فارسی برگردانده شده است. کتابی با نام «مقدمه‌ای بر عملگرهای فضای هیلبرت». هدف اصلی ما معرفی این کتاب به جامعه ریاضی ایران است. دانشگاه‌ها، کتابخانه‌ها و ریاضی‌خوانان و ریاضی‌دانان این کتاب را برگزینند و بخوانند، اما قصد آن داریم مقاله معرفی را به‌گونه‌ای بنویسیم که خوانندگان ناآشنا با جهان ریاضی هم بر دانسته‌های خود بیفزایند. پس اجازه دهید از ستودن دانش ریاضی بگذریم و از همین ابتدا کتاب را معرفی کنیم. روی جلد این کتاب واژه «عملگر» خودنمایی می‌کند. پس لازم است به زبان ساده بدانیم «عملگر» یا با نام دیگرش «آپارگر» چیست. واژه «آپارگر» اگرچه نو‌واژه‌ای ناآشناست، ولی برگردانی پرسون‌تر برای واژه «operator» است. اما ما کماکان همان واژه «عملگر» را به کار
خواهیم برد. عملگر، یک نگاشت یا یک تابع است که می‌تواند روی عناصر یک فضا عملی را انجام دهد تا عناصر را در فضای دیگری تولید کند. در فیزیک هم چنین است؛ عملگر فیزیکی، نگاشت یا تابعی است که می‌تواند در فضای حالت‌های فیزیکی عمل کند و حالت فیزیکی دیگری را که حاوی اطلاعات است، تولید کند. این کتاب درباره عملگرهای فضای هیلبرت است.
«هیلبرت» و فضایش
برای اینکه بدانید این کتاب درباره چیست، لازم است بدانید «فضای هیلبرت» چیست. اما پیش از آنکه بگوییم «فضای هیلبرت» چیست، شایسته است کمی درباره «هیلبرت» بگوییم. «دیوید (یا داوید) هیلبرت» از برجسته‌ترین ریاضی‌دانان تمام دوران به شمار می‌رود که مرزهای ریاضی را جابه‌جا کرده است. او آلمانی بود و به سال 1862 م. در پادشاهی پروس به دنیا آمد. به سال 1943 م. هم در داغ‌ترین روزهای جنگ جهانی دوم پس از سپری‌کردن روزهای دشوار در حکومت نازی‌ها در گوتینگن آلمان چشم از جهان فروبست. نام «هیلبرت» با شاخه‌های پُرگونی از ریاضی گره خورده است؛ از آنالیز تابعی و نظریه اعداد تا هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی. «هیلبرت» از دوستان خوب «آلبرت اینشتین» بود و تا زمانی که «اینشتین» در آلمان بود، از حمایت او برخوردار بود. او همچنین در دوره‌ای که زنان را در جهان ریاضی به دشواری می‌پذیرفتند، از دیگر ریاضی‌دان نامور آلمانی، «امی نوتر»، حمایت چشمگیری کرد. درباره «هیلبرت» و نقش پررنگ او در ریاضیات قرن بیستم و نیز نقش پررنگ او در جهت‌بخشی به نقش اجتماعی دانشمندان در عرصه‌های اجتماعی باید کتابی پروپیمان نوشت، اما افسوس‌مندانه از این مرد بزرگ حتی یک
کتاب هم به فارسی نوشته یا ترجمه نشده است. به فضای «هیلبرت» بپردازیم. همه ما سه بُعد مکانی فضا را می‌شنایم: ژرفا، پهنا و درازا. حال اگر بُعد زمان را هم به آن بیفزاییم، با ساختار «فضا-زمان» سروکار خواهیم داشت. در این فضای سه‌بعدی، پرسونانه‌تر بگوییم در این ساختار فضا-زمان هندسه‌ای حاکم است که برای راحتی کار هندسه اقلیدسی را فرض می‌کنیم. هندسه اقلیدسی همان هندسه‌ای است که در آن دو خط موازی یکدیگر را در یک نقطه مشترک قطع نمی‌کنند و جمع کل زاویه‌های مثلث 180 درجه است. حال فرض کنید فضایی داشتیه باشیم که بُعدهای مکانی آن بیش از سه باشد و حتی بی‌نهایت باشد. در این فضا به ابزارهایی نظیر جبر برداری و حسابگان نیاز داریم که بتواند در هندسه مورد نظر ما کار کند. کاربردهای «فضای هیلبرت» فزاینده است؛ از مکانیک کوانتومی گرفته تا تحلیل فوریه، مشتقات پاره‌ای، ترمودینامیک، انتقال حرارت و فیزیک نظری را شامل می‌شود. «فضای هیلبرت» «خوش-تعریف» است و شامل ضرب داخلی عنصرها (یا بُن‌پارها) است. این کتاب درباره عملگرهای کراندار و بی‌کران در «فضای هیلبرت» است. فضایی که نام درخور و برازنده ریاضی‌دانی را دارد که ریاضی قرن بیستم را زیباتر
از گذشته کرد. مردی که پا جای پای کسانی همچون «اقلیدس»، «گاوس»، «ریمان» و دیگر ستون‌های ریاضی گذاشته بود.
پرواز بر فراز کتاب
اگر در همان نگاه نخست کتاب را در دست گرفته و ورقی بزنید، چاپ تمیز و تایپ (حروفچینی) زیبای آن به چشم می‌آید. مترجمان کتاب با استفاده از نرم‌افزار لاتک کتاب را حروفچینی کرده‌اند که برای متن‌های دانش‌های زاستاری همچون ریاضی و فیزیک که پر از دیسول (فرمول) و شکل و نمودار است، منحصر‌به‌فرد است. دیسول‌ها بسیار چشم‌نواز و زیبا تایپ شده‌اند که بر خوش‌خوانی کتاب افزوده است. همچنین با نگاهی تند می‌توان دریافت ترجمه کتاب هم خیلی خوب است. جملات پرسون و خوش‌‌خوانش هستند. از همه مهم‌تر مترجمان از واژگان درست فارسی برای ریاضیات استفاده کرده‌اند که این کار شایسته قدردانی است. کم نیستند کتاب‌هایی که هم زشت و بدسلیقه حروفچینی شده‌اند و هم ترجمه پر از واژگان بیگانه دارند که به شکل «پینگیلیش» نوشته شده است. مترجمان در پیشگفتاری که برای کتاب‌شان نوشته‌اند، مختصر و مفید چنین گفته‌اند: کتاب‌های بسیاری [منظور کتاب به زبان فارسی نیست] در زمینه نظریه عملگرها روی «فضای هیلبرت» نوشته شده‌اند که دیدگاه‌های نویسندگان آنها و نحوه پرداختن به موضوع در این کتب کمابیش متفاوت است. در بین این کتاب‌ها، کتاب «مقدمه‌ای بر نظریه عملگرها در فضای
هیلبرت» اثر «پیوتر سلطان» به سبک خاصی نوشته شده است. این کتاب به‌طور خلاصه جنبه‌های اساسی نظریه عملگرها روی فضای هیلبرت را ارائه می‌دهد. جامع‌بودن کتاب، صلابت بیان و ترتیب بسیار زیبای مباحث، دست به دست هم داده و خواننده را با همه زوایای نظریه عملگر به بهترین وجه آشنا می‌کند. این کتاب را می‌توان به‌عنوان یک کتاب درسی جامع و مختصر برای تدریس درس نظریه عملگرها، برای دوره‌های کارشناسی‌ارشد و دکترای رشته‌های ریاضی محض و کاربردی مورد استفاده قرار داد؛ همچنین مطالعه این کتاب را به دانشجویان و استادان علاقه‌مند به تحقیق و مطالعه در زمینه نظریه عملگرهای خطی کرادار و بی‌کران روی «فضای هیلبرت» توصیه می‌کنیم.
شیرجه درون کتاب
نسخه اصلی این کتاب به زبان انگلیسی به سال 2018 م چاپ شده است و در دنیای ریاضی بسیار جدید به شمار می‌آید. بنابراین مترجمان انتخاب بسیار درستی داشته‌اند. نسخه فارسی کتاب در انتشارات دانشگاه لرستان، با شمارگان 500 نسخه و قیمت 55 هزار تومان در 250 صفحه چاپ شده است. حدیث مکرر است، اما بازهم گفتنش ضروری است که شمارگان کتاب‌های دانشگاهی بسیار کم است. در این کشور بی‌شک خیلی بیشتر از 500 ریاضی‌دان و گروه ریاضی و دانشجویان ریاضی که ممکن است به چنین کتابی نیازمند باشند، وجود دارد. کتاب‌های دانشگاهی به زبان فارسی، به‌ویژه کتاب‌های تخصصی نیازمند حمایت است تا ریشه‌اش خشک نشود. به ادامه غواصی در دریای بی‌کرانه عملگرها روی فضای هیلبرت بپردازیم. نظریه عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» یکی از دستاوردهای مهم آنالیز تابعی است که کاربردهای فراوانی در شاخه‌های گوناگون ریاضیات و فیزیک دارد. همچنین پایه تعمیم‌های جالبی شامل جبرهای فون-نویمان و هندسه ناجابه‌جایی و بسیاری از زمینه‌های پژوهشی نوین است. این کتاب بر اساس سخنرانی‌های نویسنده در دانشکده فیزیک دانشگاه ورشو فراهم شده که همین موضوع نقطه قوت است؛ زیرا نویسنده پیش از نوشتن کتاب
زیروبم مشکلات، بدفهمی‌ها و کج‌فهمی‌های دانشجویان را فهمیده و در کتاب گنجانده است. «پیوتر سلطان» دو هدف کلی را برای کتابش برمی‌شمرد؛ نخست فراهم‌کردن ارائه‌ای مختصر از اصول اولیه نظریه عملگرها روی فضاهای هیلبرت با اثبات‌های کامل و مستقیم و دیگری آماده‌سازی خواننده برای مطالعه بیشتر درباره نظریه عملگرها و نیز نظریه جبرهای عملگر. نویسنده برای دستیابی به هدف نخست، اصول و نکات مهم نظریه عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» را که برای موضوعی بسیار انتزاعی است، ارائه می‌دهد. مهم‌تر از همه دلیل محدودکردن کتاب به برخی حداقل‌ها، وجود تعداد زیادی کتاب و پژوهش دراین‌باره است که طیف وسیعی را پوشش می‌دهد. بنابراین بر اساس آنچه هدف اصلی «سلطان» به شمار می‌رود، کتابی با میزان متوسطی از مطالب است که نقطه آغاز ارزشمندی باشد برای پژوهش‌های پیشرفته. موضوع کتاب در 12 فصل به دو بخش کلی بخش می‌شود. بخش نخست شامل هفت فصل اول به مطالعه عملگرهای کراندار اختصاص دارد و بخش دوم درباره عملگرهای بی‌کران است. در بخش دوم کتاب از یک ابزار بسیار مفید و جدید با نام «z-تبدیل» استفاده شده است. با مطالعه جزئیات بیشتر درباره این تبدیل می‌توان آن را به
عنوان روشی برای رمزگذاری اطلاعات کامل یک عملگر چگال معین بسته روی یک «فضای هیلبرت» بر حسب یک عملگر کراندار روی این فضا در نظر گرفت؛ همچنین می‌توان اثبات‌های بسیار ساده و ظریفی را برای بسیاری از نتایج این نظریه ارائه داد. بیشتر کتاب‌ها و مرجع‌های ذکرشده در پایان کتاب، نظریه طیفی عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» را بر اساس چندین دیدگاه از نظریه «جبرهای باناخ» و «سی-استار جبر» تعمیم می‌دهند. در این رویکرد خواننده باید ابتدا با ساختارهای تا حدی پیشرفته کار کند و سپس آنها را برای حل مسائل مقدماتی نظریه عملگر به کار گیرد. اما روش «سلطان» به گونه‌ای دیگر است. نظریه طیفی عملگرها روی «فضاهای باناخ» با حداقل استفاده از نتایج ژرف‌تر «جبرهای باناخ» ارائه شده است. برای خوانندگان تازه‌وارد در ریاضیات خوب است توضیح دهیم که «جبر باناخ» از نام ریاضی‌دان شهیر لهستانی، «استفان باناخ»، گرفته شده است. «باناخ» ریاضی‌دانی باهوش بود که افسوس‌مندانه خیلی زود و در 54سالگی چشم از جهان فروبست. از آنجایی که هدف کتاب «پیوتر سلطان» ارائه نظریه عملگرها روی «فضاهای هیلبرت» است، بنابراین دربردارنده تعداد زیادی مثال و تمرین نیست، اما در عوض
مطالب را بسیار موشکافانه بررسی کرده است؛ همچنین در پایان هر فصل منابعی را برای مطالعه بیشتر و کتاب‌های تمرین‌پایه معرفی کرده است. در بسیاری از موارد اطلاعات مربوط به پیشرفت‌ها و تعمیم‌های گسترده‌تر درباره موضوع هر فصل هم بیان شده است. دوره سخنرانی که این کتاب براساس آن نوشته شده برای دانشجویانی در نظر گرفته شده که با مبانی آنالیز تابعی، شامل اطلاعات پایه و اولیه «فضاهای هیلبرت» و «باناخ» آشنا باشند. درواقع دانستن موضوع‌های زیر در ریاضی برای هرچه بهتر دریافتن بِگِرت‌های (مفهوم‌ها) گنجانده‌شده در این کتاب ضروری است.
1- مبانی جبر خطی و حسابگان (حساب دیفرانسیل و انتگرال)
2- مقدمات توپولوژی عمومی شامل مفهوم فضای توپولوژیک موضعی فشرده، تور و هم‌گرایی آن و نیز قضیه استون-وایرشتراس
3- آنالیز مختلط مقدماتی شامل بگرت یا مفهوم تابع تحلیلی، دیسول یا فرموا کوشی و قضیه لیوویل
4- نظریه اندازه و انتگرال شامل قضیه هم‌گرایی تسلطی، اندازه‌های ضربی و قضیه فوبینی، اندازه‌های مختلط، قضیه رادون-نیکودیم و نیز قضیه نمایش ریس-مارکوف-کاکوتانی
5- قضیه نمایش ریس برای تابعک‌های روی «فضاهای هیلبرت»، فرم‌های یک‌ونیم خطی کراندار و ارتباط آنها با عملگرهای کراندار روی «فضاهای هیلبرت» و نیز بگرت یا مفهوم عملگر الحاقی یک عملگر کراندار روی «فضای هیلبرت»
6- بگرت «فضای باناخ» و «فضای هیلبرت»، «فضای لِبِگ» (برگرفته از نام «هنری لبگ»-ریاضی‌دان قرن بیستمی فرانسوی)، عملگرهای کراندار روی «فضاهای باناخ» و نرم عملگر.
در این کتاب از انتگرال‌های توابع پیوسته «فضای باناخ-مقدار»، که اغلب در دوره‌های معادلات دیفرانسیل معمولی مورد بحث قرار می‌گیرند، استفاده شده است. تمام فضاهای برداری بررسی‌شده در این کتاب روی میدان اعداد مختلط است. «سلطان» در این کتاب از نمادها و قراردادهای استاندارد فیزیک را به کار بسته است که بر اساس آن ضرب‌های اسکالر نسبت به متغیر دوم خطی و نسبت به متغیر اول پادخطی خواهند بود. همچنین از دو نماد بسیار شناخته‌شده در مکانیک کوانتومی با نام‌های «بِرا» و «کِت» استفاده کرده است. بر اساس آنچه «سلطان» در ابتدای کتابش گفته، ترتیب مطالب کتاب یا به عبارت بهتر فصل‌های کتاب خطی است؛ یعنی باید کتاب را به ترتیبی که نوشته شده خواند. بنابراین انتظار می‌رود هم دانشجویان این توصیه نویسنده را به کار گیرند و با حوصله، با رویکردی پرسونانه و صرف وقت کافی کتاب را بخوانند و هم استادانی که قصد دارند از روی این اثر درس بدهند، از ابتدا شروع کنند و نه از وسط کتاب! «پیوتر سلطان» درحالی‌که خود استاد‌تمام است، در کتابش از استاد راهنمایش، پروفسور «اشتانسلاو وورونوویچ» بسیار قدردانی کرده که او را با «فضای هیلبرت» آشنا کرده است. اجازه
دهید پایان‌بخش این قسمت از مقاله عنوان فصل‌های کتاب باشد: بخش اول-عملگرهای کراندار: فصل یک: طیف عملگر، فصل دو: حساب تابعی پیوسته، فصل سه: عملگرهای مثبت، فصل چهار: قضایای طیفی و حساب تابعی، فصل پنج: عملگرهای فشرده، فصل شش: اثر، فصل هفت: حساب تابعی برای گردایه‌ای از عملگرها. بخش دوم- عملگرهای بی‌کران: فصل هشت: عملگرها و گراف‌های آنها، فصل نهم: «z-تبدیل»، فصل ده: قضایای طیفی، فصل یازده: توسیع‌های خود-الحاق عملگرهای متقارن، فصل دوازده: گروه‌های یک‌پارامتری عملگرهای یکانی. همچنین کتاب شامل پنج پیوست نیز هست که عبارت‌اند از: قضیه باناخ- اشتاین‌هاوس، قضیه دنکین، ضرب تانسوری فضاهای هیلبرت، قضیه نگاشت باز، جبرها و فضاهای خارج‌قسمتی. مترجمان یک واژه‌نامه خوب فارسی-انگلیسی هم به کتاب افزوده‌اند تا دانشجویان ایرانی با برابرنهادهای انگلیسی واژگان آشنا شوند. هرچه باشد انگلیسی زبان دانشی نخست جهان بوده و دانستن آن ضروری است.
درباره نویسنده
«پیوتر سلطان» یا با نام کامل «پیوتر میلکلاژ سلطان» از آن دسته دانشمندانی در اروپای پرقی است که به‌شدت پرکار است و در فضای اجتماعی کم دیده شده. در اروپای شرقی دانشمندان درجه یکی می‌توان یافت که از همتایان اروپای غربی و آمریکای شمالی بسیار درخشان‌تر هستند، اما برای جامعه دانشی خارج از شاخه پژوهشی خود ناشناخته مانده‌اند. باز خوب است به این موضوع اشاره کنیم که اروپای شرقی ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان نظری تراز اولی دارد و حتی می‌توان در آنها مکتب‌های ریاضی دید. «پیوتر سلطان» هم از این دست است. او در شاخه‌های پژوهشی همچون نظریه عملگرها، گروه‌ها در نظریه کوانتومی و جبر ناجابه‌جایی کارهای ارزنده‌ای کرده است. «سلطان» در حال حاضر استاد تمام دپارتمان فیزیک در گروه مدل‌های ریاضی در فیزیک، در دانشگاه وارساو یا با گویش فارسی رایج ورشو است. او
43 مقاله پژوهشی با شاخص بالا دارد که برای یک ریاضی‌دان یا بهتر بگوییم
ریاضی-فیزیک‌دان بسیار خوب است؛ همچنین چندین درسنامه به زبان انگلیسی و چندین درسنامه به زبان لهستانی دارد. خوب است پژوهشگران ایرانی هم آستین همت و مسئولیت را بالا بزنند و درسنامه‌های خوبی را به فارسی بیش از پیش نگارش کنند؛ کاری که مترجمان کتاب حاضر هم انجام داده‌اند.
درباره مترجمان
مترجمان این کتاب خوب هر دو دانش‌آموخته ریاضیات هستند. «زهرا معیری‌زاده» دکترای ریاضیات محض از دانشگاه تبریز بوده و عضو هيئت‌علمي دانشكده رياضي دانشگاه لرستان است. گرایش او آنالیز است و سابقه تدریس پروپیمانی در دانشگاه دارد. دوره‌های تحصیلی را هم با رتبه‌های ممتاز سپری کرده است. «حامد بازگیر» هم دانش‌آموخته دوره دکترای ریاضیات از دانشگاه لرستان است و در حال حاضر علاوه بر تدريس در دانشگاه، پژوهشگر رياضيات كاربردي نيز هست. شاید بهترین پایان برای این مقاله و معرفی این کتاب به جامعه ریاضی‌دانان و ریاضی‌خوانان کشور این باشد که مترجمان این کتاب زوج پژوهشگر ریاضی‌خوانده‌ای هستند که در کنار زندگی مشترک با فرزند خردسال‌شان، کار پژوهشی و دانشی مشترک هم انجام می‌دهند. این نوع از زندگی‌های موفق برای نسل جوان ایران چراغ راه است.